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1734年，爱尔兰乔治·贝克莱主教发表《分析学家》一书，对牛顿和莱布尼茨创立的微积分方法进行了深刻批判。贝克莱的核心目标并非否定微积分作为数学分析工具的有效性，而是指出其在概念和逻辑上的结构矛盾即不严密性。
何新1980年代数学史读书札记（5）【贝克莱危机】英国乔治·贝克莱（George Berkeley）主教于1734年匿名发表《分析学家》（The Analyst）一书。这是一部针对牛顿和莱布尼茨创立的微积分——数学分析方法之哲学基础的批判性著作。
在此书中，贝克莱对微积分中“无穷小量”进行了剖析和批评，指出其存在内在矛盾。这一批评撼动了微分分析的概念和逻辑基础，史称“贝克莱悖论”（Berkeley's paradox）。
一、贝克莱悖论的数学意义1/微积分中的无穷小量微分分析中的关键概念是“无穷小量”。微分方法，又称数学分析。所谓“分析”，指把变化量分解为流动性的无穷小的部分量（瞬间量）来研究其变化规律（求其变化率即求导数）。贝克莱针对这个无穷小概念指出，微分分析在推导过程中存在不可调和的逻辑矛盾。他指出，在微分推导过程中，无穷小量，无论分解到多么小，始终是一个可以确定的非零量，但是最后寻求计算结果时，这个非零量却必须被当作零，这在概念和逻辑上是自相矛盾的。
2/微积分悖论的数学意义：矛盾在于：Δx≠0与Δx=0，因此贝克莱质疑牛顿所谓流数法，关于瞬量的概念——第一语义模糊：Δx到底是什么？一个很小很小的数？一个趋近于零的过程？还是纯粹的工具性符号？第二操作合法性缺失：为什么作为实存量先除，而后却作为零量被抛弃？[附注：在早期微积分算法中，导数被视为两个无穷小量的比。例如，对于函数f(x)=x²，其导数的计算步骤为：第一步：计算增量(x + Δx)² − x² = 2xΔx + (Δx)²第二步：除以Δx[2xΔx + (Δx)²] / Δx = 2x + Δx第三步：令Δx=0导数=2x在这一过程中，Δx的角色发生了变化：它在除法中必须是作为一种非零量，而在最终结果中又必须被当作零。]
3/贝克莱的质疑贝克莱指出，Δx在同一推理过程中被赋予了相互矛盾的属性：• 非零（以便允许除法）• 零（为了得到最终结果）这种矛盾直接违反了逻辑中的矛盾律。也就是说，在逻辑结构上：一个对象在同一论证过程中的同一时刻，被赋予了不相容的属性。（矛盾律）
因此贝克莱将这种动态量（牛顿所谓流数或者瞬时量）讽刺地称为“又死又活的幽灵数”，并质疑其本体论地位——Δx究竟是一个极小的量、一个趋近过程，还是一个纯粹的符号？贝克莱的批判深刻揭示了早期微积分理论存在的明显逻辑漏洞，构成了“贝克莱悖论”。
二、悖论的逻辑结构分析贝克莱悖论的本质是语义歧义。Δx在不同步骤中具有不同的语义：• 在除法步骤中，Δx表示非零量• 在最终步骤中，Δx表示零量• 在某些解释中，Δx表示趋近于零的过程由于这些语义在同一推理中被混用，导致逻辑不一致。
从现代逻辑角度看，贝克莱悖论属于“歧义谬误”：同一符号在同一论证中被赋予不同含义，从而导致推理错误。
三、贝克莱悖论引发的数学危机贝克莱的批判直接引发了数学史上的第二次数学危机。
尽管在实际应用方面，微积分在物理和工程中取得巨大成功，但其逻辑基础却被证明是不牢固的。
数学家们意识到，必须为微积分建立严格的基础，否则其结论只能被视为经验性的技术工具。
贝克莱悖论被数学家希尔伯特称为第二次数学危机，这一危机持续了约150年，直到19世纪末极限理论的建立才表面上似乎得到解决。
四、解决方案的演进
1、柯西-魏尔斯特拉斯极限论（19世纪末）通过ε-δ语言，改变语词说法和描述，将\"无穷小\"变量这个说法驱逐出数学本体论：——不再说\"Δx是无穷小\"，而是说\"对于任意ε>0，存在δ>0，当0<|Δx| <δ时...\"< pan>导数不是\"最终比值\"，而是比值的极限。核心策略：将动态过程转化为静态的、可验证的不等式关系。
2、非标准分析（罗宾逊，1960年代）反柯西方法，承认变量的流动性将无穷小合法化：——构建超实数系统*R，包含真正的无穷小量，证明：在严格的逻辑框架内（模型论），可以存在Δx≠0且其标准部分为0，某种意义上\" vindicates\"了牛顿、莱布尼兹的直觉。
3、光滑无穷小分析（约翰贝尔，1970年代）采用直觉主义逻辑，放弃排中律：——无穷小量Δ满足Δ²=0，但Δ≠0，通过弱化逻辑系统（引进可兼容性多值逻辑）避免矛盾。
五、贝克莱微积分批评的真实意图：事实上，贝克莱主教的攻击并非纯粹数学上的严谨性考量，而是具有神学论战目的：• 他想证明：以牛顿、莱布尼兹为代表的\"自然哲学\"（科学主义）基础并不比宗教信仰更可靠。
• 如果微积分这个最辉煌的智力成就都建立在逻辑矛盾之上，那么无神论者嘲笑宗教\"神秘\"性就是虚伪的。• 著名的贝克莱讽刺是：\"无神论者的信仰比基督徒的信仰更不合理性\"。
结语：更深层的哲学启示：实际上，\"贝克莱危机\"最终没有被\"解决\"，而只是被转化为不同的数学框架，使用不同的逻辑语言解释，但是每个框架都有不同的本体论承诺和逻辑代价。
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